Número racional


En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.
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Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.
Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero).
El conjunto de los números racionales se denota por
mathbb{Q}
mathbb{Q}
, que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.
Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales.

Contenido

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[editar] Historia

En el Antiguo Egipto ya se calculaba utilizando aquéllas cuyos denominadores son enteros positivos, como: cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como fracción egipcia. Además, se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia.
El jeroglífico de una boca abierta (

D21
D21


) denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción. ||
Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.
Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.
En el siglo XIII Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

[editar] Construcción de los números racionales

  • Consideremos las parejas de números enteros
    left( a,bright)
    left( a,bright)
    donde
    bneq 0
    bneq 0
    .
  • frac{a}{b}
    frac{a}{b}
    denota a
    left( a,bright)
    left( a,bright)
    . A
     a ,
    a ,
    se le llama numerador y a
     b ,
    b ,
    se le llama denominador
  • Al conjunto de estos números se le denota por
    mathbb{Q}
    mathbb{Q}
    . Es decir
    mathbb{Q}=left{ frac{p}{q}mid pinmathbb{Z},qinmathbb{Z},qneq0right}
    mathbb{Q}=left{ frac{p}{q}mid pinmathbb{Z},qinmathbb{Z},qneq0right}

[editar] Definición de suma y multiplicación en Q

  • Se define la suma
    frac{a}{b}+frac{c}{d} = frac{ad+bc}{bd}
    frac{a}{b}+frac{c}{d} = frac{ad+bc}{bd}
  • Se define la multiplicación
    frac{a}{b}timesfrac{c}{d} = frac{ac}{bd}
    frac{a}{b}timesfrac{c}{d} = frac{ac}{bd}

[editar] Relaciones de equivalencia y orden en Q

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Fracción aparente que es equivalente a dos.

  • Se define la equivalencia
    frac{a}{b}=frac{c}{d}
    frac{a}{b}=frac{c}{d}
    cuando
     ad = bc ,
    ad = bc ,
  • Los racionales positivos son todos los
    frac{a}{b}
    frac{a}{b}
    tales que
     ab > 0 ,
    ab > 0 ,
  • Los racionales negativos son todos los
    frac{a}{b}
    frac{a}{b}
    tales que
     ab < 0 ,
    ab < 0 ,
  • Se define el orden
    frac{a}{b}>frac{c}{d}
    frac{a}{b}>frac{c}{d}
    cuando
     ad - bc > 0 ,
    ad - bc > 0 ,

[editar] Notación

  • Los números de tipo
    frac{-a}{b}
    frac{-a}{b}
    son denotados por
    -frac{a}{b}
    -frac{a}{b}
  • Las sumas de tipo
    frac{a}{b}+frac{-c}{d}
    frac{a}{b}+frac{-c}{d}
    son denotadas por
    frac{a}{b}-frac{c}{d}
    frac{a}{b}-frac{c}{d}
  • frac{a}{b}left(frac{c}{d}right)
    frac{a}{b}left(frac{c}{d}right)
    denota a
    frac{a}{b}timesfrac{c}{d}
    frac{a}{b}timesfrac{c}{d}
  • Todo número
    frac{p}{1}
    frac{p}{1}
    se denota simplemente por
     p ,
    p ,
    .
  • A este conjusto de números que contienen todos los némeros racionales exceptuando el cero, se le llama: "Conjunto de los racionales asterísco" (Z*)

[editar] Unicidad de un racional

Un número racional sólo puede provenir de una única fracción irreducible.

[editar] Propiedades de los números racionales

El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera forman un Cuerpo.

[editar] Propiedades de la suma y multiplicación

  • La suma en Q es conmutativa, esto es:
    frac{a}{b}+frac{c}{d} = frac{c}{d}+frac{a}{b}
    frac{a}{b}+frac{c}{d} = frac{c}{d}+frac{a}{b}
  • La suma en Q es asociativa, esto es:
    frac{a}{b}+left(frac{c}{d}+frac{p}{q}right) = left(frac{a}{b}+frac{c}{d}right)+frac{p}{q} = left(frac{a}{b}+frac{p}{q}right)+frac{c}{d}
    frac{a}{b}+left(frac{c}{d}+frac{p}{q}right) = left(frac{a}{b}+frac{c}{d}right)+frac{p}{q} = left(frac{a}{b}+frac{p}{q}right)+frac{c}{d}
  • La multiplicación en Q es asociativa, esto es:
    frac{a}{b}timesleft(frac{c}{d}timesfrac{p}{q}right) = left(frac{a}{b}timesfrac{c}{d}right)timesfrac{p}{q}
    frac{a}{b}timesleft(frac{c}{d}timesfrac{p}{q}right) = left(frac{a}{b}timesfrac{c}{d}right)timesfrac{p}{q}
  • La multiplicación se distribuye en la suma, esto es
    frac{a}{b}timesleft(frac{c}{d}+frac{p}{q}right) = left(frac{a}{b}timesfrac{c}{d}right)+left(frac{a}{b}timesfrac{p}{q}right)
    frac{a}{b}timesleft(frac{c}{d}+frac{p}{q}right) = left(frac{a}{b}timesfrac{c}{d}right)+left(frac{a}{b}timesfrac{p}{q}right)

[editar] Existencia de neutros e inversos

  • Para cualquier número racional:
    frac{a}{b}
    frac{a}{b}
    se cumple que
    frac{a}{b}+frac{0}{1}=frac{a}{b}
    frac{a}{b}+frac{0}{1}=frac{a}{b}
    entonces
    frac{0}{1}
    frac{0}{1}
    es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.
  • Para cualquier número racional:
    frac{a}{b}
    frac{a}{b}
    se cumple que
    frac{a}{b}timesfrac{1}{1}=frac{a}{b}
    frac{a}{b}timesfrac{1}{1}=frac{a}{b}
    entonces
    frac{1}{1}
    frac{1}{1}
    es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.
  • Cada número racional:
    frac{a}{b}
    frac{a}{b}
    tiene un inverso aditivo
    frac{-a}{b}
    frac{-a}{b}
    tal que
    frac{a}{b}+frac{-a}{b}=0
    frac{a}{b}+frac{-a}{b}=0
  • Cada número racional:
    frac{a}{b}
    frac{a}{b}
    con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo
    frac{b}{a}
    frac{b}{a}
    tal que
    frac{a}{b}timesfrac{b}{a}=1
    frac{a}{b}timesfrac{b}{a}=1

[editar] Equivalencias notables en Q

  • frac{ca}{cb}=frac{a}{b}
    frac{ca}{cb}=frac{a}{b}
    si
    cneq 0
    cneq 0
    y
    bneq 0
    bneq 0
  • frac{a}{c}+frac{b}{c}=frac{a+b}{c}
    frac{a}{c}+frac{b}{c}=frac{a+b}{c}
  • frac{-a}{b}=frac{a}{-b}=-frac{a}{b}
    frac{-a}{b}=frac{a}{-b}=-frac{a}{b}
  • frac{0}{a}=frac{0}{b}=0
    frac{0}{a}=frac{0}{b}=0
    , a y b ≠ 0
  • frac{a}{a}=frac{b}{b}=1
    frac{a}{a}=frac{b}{b}=1
    , a y b ≠ 0.

[editar] Los números enteros en Q

  • Si p es un número entero entonces existe el número
    frac{p}{1}
    frac{p}{1}
    que equivale a p y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define
    mathcal{I}_{mathbb{Q}}:mathbb{Zrightarrowmathbb{Q}},;mathcal{I}_{mathbb{Q}}left(pright)=frac{p}{1}
    mathcal{I}_{mathbb{Q}}:mathbb{Zrightarrowmathbb{Q}},;mathcal{I}_{mathbb{Q}}left(pright)=frac{p}{1}

[editar] Otras notaciones de números en Q

[editar] Fracciones mixtas

Cada número racional
frac{p}{q}
frac{p}{q}
se puede expresar de forma única como
uleft(A+frac{a}{b}right)
uleft(A+frac{a}{b}right)
donde
  • A es un entero no negativo, es decir
    Ain mathbb{Z},~Ageq 0
    Ain mathbb{Z},~Ageq 0
  • frac{a}{b}
    frac{a}{b}
    es un racional irreducible no negativo menor que uno. Se expresa como
    mathrm{mcd}left( a,bright)=1, quad 0leq a< b
    mathrm{mcd}left( a,bright)=1, quad 0leq a< b
  • u es una unidad. Es decir
    u=pm 1
    u=pm 1
La notación es muy sencilla, las reglas son
  • Afrac{a}{b}
    Afrac{a}{b}
    denota a
    A+frac{a}{b}
    A+frac{a}{b}
  • -Afrac{a}{b}
    -Afrac{a}{b}
    denota a
    -A-frac{a}{b}
    -A-frac{a}{b}
Por ejemplo
-2frac{5}{7}=-frac{19}{7}
-2frac{5}{7}=-frac{19}{7}

[editar] El conjunto de los números decimales en Q

  • Un número decimal es un número racional de la forma
    frac{a}{10^n}
    frac{a}{10^n}
  • mathbb{D}
    mathbb{D}
    denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir
    mathbb{D}=left{frac{a}{10^n}mid frac{a}{10^n}inmathbb{Q}right}
    mathbb{D}=left{frac{a}{10^n}mid frac{a}{10^n}inmathbb{Q}right}
  • Expresión Racional de un número decimal: el número a en base 10 con un punto a n lugares del extremo derecho, por ejemplo
    frac{178}{10^2}
    frac{178}{10^2}
    se denota como 1.78

[editar] Representación decimal de los números racionales

Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos:
  • Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:
frac 8 5 = 1,6
frac 8 5 = 1,6

  • Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:
begin{array}{rcl}cfrac 1 7&=&0,142857142857dots\&=&0,overline{142857}end{array}
begin{array}{rcl}cfrac 1 7&=&0,142857142857dots\&=&0,overline{142857}end{array}

  • Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:
begin{array}{rcl}cfrac 1 {60}&=&0,01666dots\&=&0,01overline{6}end{array}
begin{array}{rcl}cfrac 1 {60}&=&0,01666dots\&=&0,01overline{6}end{array}
En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo:
begin{array}{r}0,1428571ldots\7overline{)10;,;,;,;,;,;,;,;,;,;,}\30;,;,;,;,;,;,;,;,;,\20;,;,;,;,;,;,;,;,\60;,;,;,;,;,;,;,\40;,;,;,;,;,;,\50;,;,;,;,;,\10;,;,;,;,\vdots;,;,;,;,end{array}
begin{array}{r}0,1428571ldots\7overline{)10;,;,;,;,;,;,;,;,;,;,}\30;,;,;,;,;,;,;,;,;,\20;,;,;,;,;,;,;,;,\60;,;,;,;,;,;,;,\40;,;,;,;,;,;,\50;,;,;,;,;,\10;,;,;,;,\vdots;,;,;,;,end{array}
Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera:
Artículo principal: Número periódico
  • Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo:
    34,65 = frac{3465}{100}
    34,65 = frac{3465}{100}
  • Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo:
    15,3434dots=frac{1534-15}{99}
    15,3434dots=frac{1534-15}{99}
  • Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número
    12,345676767dots
    12,345676767dots
    entonces
    a=1234567 ,
    a=1234567 ,
    y
    b=12345 ,
    b=12345 ,
    , por lo que el número buscado será
    {1234567-12345}over{99000}
    {1234567-12345}over{99000}
    .

[editar] Referencias

[editar] Véase también


Números
Complejos
mathbb{C}
mathbb{C}



Reales
mathbb{R}
mathbb{R}



Racionales
mathbb{Q}
mathbb{Q}



Enteros
mathbb{Z}
mathbb{Z}



Naturales
mathbb{N}
mathbb{N}


Uno
Primos
Compuestos


Cero
Negativos



Fraccionarios

Fracción propia
Fracción impropia





Irracionales

Algebraicos irracionales
Trascendentes




Imaginarios